где m и n - целочисленные показатели степени ; a - константа.
Не знаю, как другие, но мне приходится каждый раз рыться в справочниках, решебниках, пользоваться системами Maple и WolframAlfa.
Чтобы раз и навсегда поставить точку в этом вопросе, пишу эту коротенькую статью.
Не буду решать в общем случае, а покажу на примере, как раскладывать подинтегральное выражение. (Конечно, в интернете это все есть, но жалко тратить время на такую мелочь). Итак, несколько примеров разложения, из которых все становится ясным и простым:
Тут все элементарно: в числителе — биноминальные коэффициенты. Главное — разобраться со знаками. Во-первых, ряды знакочередующиеся. Во-вторых, если степень при t нечетная, то первый член ряда отрицательный. И наоборот.
(PS. Если члены каждого ряда проставлять в обратном порядке, то о сказанном можно не думать, ибо первый член будет всегда положительным).
Динамика изменения степеней ясна из примеров и ее легко перенести на любые другие случаи.
Взять же интегралы от полученных рядов настолько просто, что не буду даже этого делать.
Математику я полюбил в институте. Скорее всего потому, что лекции читал Марк Иванович Сканави. Однажды он попросил меня рассмотреть следующий ряд синусов:
Я начал последовательно изучать синусы и пространно их видоизменять:
Далее я применил метод математической индукции и получил необычайно красивое тождество, которое М. И.Сканави шутя окрестил первым замечательным произведением:
Задача эта меня увлекла настолько, что стал искать новые соотношения. Тождества образовывались на редкость красивые. Например, я рассмотрел те же косинусы, но два в степени k поместил в знаменателе (под иксом). Довольно изрядно помучившись и применив опять же метод математической индукции, вывел следующее:
С синусами оказалось все значительно сложнее. Наверное, это потому, что косинус является четной функцией, а синус — нет.
Тем не менее, мне удалось выявить интересное произведение:
Помню ту неописуемую радость, когда чисто эмпирически обнаружил столь замечательное тождество. Но увы, кто-то мне подсказал, что это уже давно открыто и опубликовано в справочниках. В библиотеке ГПНТБ действительно обнаружил данную формулу.
С появлением больших ЭВМ в 70-х годах 20-го столетия мне захотелось поиграть не просто с произведениями, а с бесконечными суммами произведений. Были опробованы сотни вариантов исходных двухпараметрических структур, результаты оказывались, в основном, очень громоздкими. И лишь одно из тождеств оказалось на грани чуда:
Лишь спустя 30 лет в интернете нашел эту формулу. Ничего не поделаешь — иногда приходится изобретать велосипед. Но я ничуть не жалею, ибо благодаря ей сумел решить другую свою задачу. Но это уже совсем другая история.
Начинаю новый проект — книгу для одаренных детей, которые хотят по-взрослому изучать прикладную математику. Тут нет теорем, доказательств, поскольку вся теория изложена в тысячах учебников и монографий. Почти все главы — плод моего творчества и потому тут можно почерпнуть много интересного.
Глава 1. В которой рассказывается, как я и мой внук Андрюша исследовали полиномы
Глава 2. В которой внук Андрюша узнает, что такое аппроксимация Глава 3. В которой рассказывается, как внук Андрюша освоил штрих код треугольника Глава 4. В которой внук узнает о существовании А-чисел Глава 5. В которой рассказывается, как двухлетний внук Андрюша построил магический квадрат Глава 6. В которой внук узнает о кладках и о критерии кладки Глава 7. В которой рассказывается, как внук осваивал задачу о четырех кубах Глава 8. В которой мы с Андрюшей решаем графически задачу Арнольда о двух старушках
Глава 9. В которой внук и я оптимизируем формы лотка для дождевой воды
Глава 10. В которой мы с Андрюшей занимаемся поиском новой числовой последовательности Глава 11. В которой мы с Андрюшей ищем формулу любви Глава 12. В которой внук и я рассуждаем о физическом явлении, подтвержденном математически Глава 13. В которой мы с Андрюшей изучаем задачи Бхаскары Глава 14. В которой мы с Андрюшей находим сумму косинусов [url] Глава 15. Мы с Андрюшей берем интегралы от основных тригонометрических функций в степени n . Глава 16. Мы с Андрюшей учимся решать целочисленную задачу в общем виде Глава 17. Мы с Андрюшей исследуем новые эквивалентные бесконечно малые функции (ЭБМ) и решаем пределы Глава 21. Мы с Андрюшей исследуем четырехпараметрическое распределение
Женщины всегда привлекали мужчин. Одаренная мужская половина посвящала им стихи, музыку, песни, картины, дарила звезды, украшения, квартиры, машины, дачи, ноутбуки… Не оставались в стороне и математики. Но что мог математик приподнести возлюбленной самое-самое свое дорогое? Ну, конечно же, - новую Формулу Любви! Первые такие формулы были, естественно, графические. Ведь тысячелетия назад математические записи отсутствовали и наиболее распространенными были геометрические изображения. Вот один математик-астроном подарил невесте траектрию движения планеты Венеры, которую можно наблюдать в течение 8 лет только с Земли:
В центре этого красивого узора можно заметить стилизованные контуры пяти мелких сердец. Далее сердца укрупняются Еще дальше пошел неизвестный любитель геометрии с еще более впечатляющим орнаментом:
Сердец тут уже намного больше и контуры их ясней. Первые алгебраические формулы любви были, конечно же, примитивными:
Как говорится, любовь на уровне первоклассника.
На этом же примитивном уровне находится такая формулка:
В какой-то графоаналитик додумался до круговорота любви в природе и изобразил это дело так:
При этом только любовь к себе осталась твердой и прямолинейной. Другие два ее вида изогнулись, как говорится, в бараний рог.
Более сложно и значительно остроумней придумал явный поклонник Эйнштейна:
Еще один шутник, якобы обнаружил иероглифы внутри пирамиды Хеопса и умудрился трансформировать их в английское признание в любви:
Другому чудаку-математику приснился даже сон: признание в любви
Объяснение такое:
v в U - обозначение женского и мужского сердца. 2 - квадратная степень, при которой даже отрицательное число становится положительным Что-то, конечно есть, но действительно — подобное только во сне способно приходить.
Но совсем уж опустился некий двоечник или недоучка, пошедший прямой дорожкой не в науку, а в бизнес. Вот полюбуйтесь хотя бы на это:
Ну, куда годится такая формула? Даже гиганты символьной математики Maple или Mathcad, такое безобразие не берут!
И уж совсем загадочна такая любовь:
Более осмысленная, естественно, такая формула:
поскольку Sex = забава — это вполне правдоподобно.
Очень понравилась идея с кардиограммой ;
ФОРМУЛА ЛЮБВИ 1
Лишь в 18 веке пришло понимание того, что пора уже дарить женщинам более сложные формулы — с элементарными функциями и другими прибамбасами. Такими, например, как полярные координаты. Первой кривой, отдаленно напоминающей сердце, была кардиоида.
В системе Maple любой желающий может проверить верность уравнения, скопировав следующие команды:
plot(1-cos(t-(1/2)*Pi), t = 0 .. 2*Pi, color = red, coords = polar, thickness = 5);
Кардиоида впервые встречается в трудах французского учёного Луи Карре в далеком 1705 году. Название кривой дал Джованнии Сальвемини ди Кастиллоне в 1741 году. Вычисление длины кривой выполнил Де Ла Ир, который независимо открыл кардиоиду в 1708 году (он еще известен своими удивительными исследованиями магических квадратов). Также независимо описал кардиоиду голландский математик Й. Коерсма (1741 г.). В дальнейшем к кривой проявляли интерес многие видные математики XVIII-XIX веков. Конечно, эта кривая описывает контур довольно несуразного сердца. Какого-то явно больного или жирного.
ФОРМУЛА ЛЮБВИ 2
Чтобы поправить положение, некий ловкий математик чуточку усложнил формулу кардиоиды и получил нечто более человеческое:
В системе Maple:
plot((1-sin(t))*(1/2+(1/7)*tanh(50*sin(t))*abs(sin(2*t)))/(1+(.5*sin(t)-1)^2), t = -Pi .. Pi, color = red, coords = polar, thickness = 5);
И вот тут началась гонка! Математики словно с цепи сорвались и стали соревноваться друг с другом: кто же найдет формулу, описывающую самое красивое сердце! Эту захватывающую гонку можно понаблюдать, если в Яндексе набрать ключевые слова “Формула любви” и просмотреть 22 тысячи рисунка. Для верности можно и погуглить. Итак, я буду излагать упомянутую гонку по возрастающей качества графиков.
ФОРМУЛА ЛЮБВИ 3
Внутри сердечка записано уравнение в декартовых координатах. Однако, когда я стал строить график, то появилось ужасно много лишних линий. Поэтому пришлось переводить в полярные координаты (два уравнения даны сверху). Не верите – проверьте:
with(plots): F := plot(sqrt((sin(t)^4+cos(t)^2)*(1+sqrt(1-sin(t)^4-cos(t)^2)))/(sin(t)^4+cos(t)^2), t = 0 .. Pi, color = red, coords = polar, thickness = 5): G := plot(sqrt(-(sin(t)^4+cos(t)^2)*(-1+sqrt(1-sin(t)^4-cos(t)^2)))/(sin(t)^4+cos(t)^2), t = Pi .. 2*Pi, color = red, coords = polar, thickness = 5): display({F, G});
Увидев это один супер-мупер математик под ником doctor по аналогии построил объемный вариант токого же сердца. У меня прога не получилась, поэтому верю ему на слово и привожу картинку из инета:
Ну не чудеса? Наверное, любимая девушка doctor’а долго прыгала от счастья и больше не ходила к нему на прием в связи с выздоровлением.
ФОРМУЛА ЛЮБВИ 4
Какой-то странный парень с высоким математическим образованием догадался возвести синус в седьмую степень и умножить его на экспоненту. И все это – в полярных координатах. Симметрию обеспечил двумя интервалами угла t. Единственное, что он явно ляпнул – это перед синусом поставил коэффициент аж 5. Цифры на осях координат оказались солидными. Поэтому я без разрешения автора уменьшил этот коэффициент аж в 50 раз! Ну, чтобы размеры сердца не зашкаливали:
Программа простенькая:
with(plots): F := plot(.1*sin(t)^7*exp(abs(2*t)), t = -Pi .. —(1/2)*Pi, color = red, coords = polar, thickness = 5): G := plot(.1*sin(t)^7*exp(abs(2*t)), t = (1/2)*Pi .. Pi, color = red, coords = polar, thickness = 5): display({F, G});
ФОРМУЛА ЛЮБВИ 5
А вот, наконец, один шибко сообразительный догадался в параметрической форме покорить свою подружку. Сердечко ладненьким получилось:
plot({[(0,1e-2*(-t^2+40*t+1200))*sin((1/180)*t*Pi), (0,1e-2*(-t^2+40*t+1200))*cos((1/180)*t*Pi), t = 0 .. 60], [-(0,1e-2*(-t^2+40*t+1200))*sin((1/180)*t*Pi), (0,1e-2*(-t^2+40*t+1200))*cos((1/180)*t*Pi), t = 0 .. 60]}, color = red, thickness = 5);
ФОРМУЛА ЛЮБВИ 6
Следующее решение некий программист сам сделал в системе Maple и получил такой график сердечка:
Я всего-то взял, да и списал его решение. А программа такой оказалась:
Ничего так. Стандартный контур. Но обратите внимание – нижняя часть сердечка во всех вышепредставленных графиках не имеет точек перегиба. Это обстоятельство смутило некоторых светил аппроксимации и функционального анализа. Они задумали усложнить форму! И правильно сделали. Должен же быть прогресс, в конце концов.
ФОРМУЛА ЛЮБВИ 7
Поэтому появилось дико вычурное изображение:
Если уж говорить честно, то нижняя часть выглядит еще ничего: точки перегиба имеет. А вот верхняя часть такова, что одним сердце покажется лимоном, другим — чем-то еще. Прям не знаю – прорыв ли сделали программисты, или же взрыв оригинальности. Но пойдем дальше.
ФОРМУЛА ЛЮБВИ 8
А вот это уже как-то трогает! Тем более, что в полярных координатах. Как же подбираются такие интересные комбинации синусов, косинусов, корней квадратных?
Формы, надо сказать, довольно насыщенные. Вы не находите? Если согласны, то попробуйте сами построить, полюбоваться:
plot(sin(t)*abs(cos(t))^(1/2)/(sin(t)+7/5)-2*sin(t)+2, t = -Pi .. Pi, color = red, coords = polar, thickness = 5);
ФОРМУЛА ЛЮБВИ 9
Ну, а этот математик наверняка в молодости ходил на дискотеки, слушал попсу, увлекался тату, пирсингом и тусовками. Поэтому и форма сердца оказалась в виде последнего писка моды:
В копилку Ваших программ:
plot([(3/2)*cos(t)^3, sin(t)+(2/3)*cos(2*t), t = 0 .. 2*Pi], thickness = 5);
Получилось прям не сердце, а открытый фужер для шампанского.
ФОРМУЛА ЛЮБВИ 10
Тоже из серии крылатых сердец. Но совсем иные параметрические формулы!
Прграмма:
plot([sin(t)*cos(t)*ln(abs(t)), sqrt(abs(t))*cos(t), t = -1 .. 1], color = red, thickness = 5);
ФОРМУЛА ЛЮБВИ 11
Здесь любитель тригонометрии поленился ввести в параметрические формулы хотя бы простенькие коэффициенты. Потому и выглядит сердце, как общипанная курица.
plot([cos(t), sin(t)+abs(cos(t))^(1/2), t = 0 .. 2*Pi], thickness = 5);
ФОРМУЛА ЛЮБВИ 12
Подобную общипанную курицу дает неявная математическая зависимость. Опять математик поленился коэффициентиками поиграть. Эх, молодежь!
with(plots): implicitplot(x^2+((x^2)^(1/3)-y)^2 = 1, x = -3 .. 3, y = -3 .. 3, numpoints = 120000, thickness = 5);
Тем не менее, это дело умудрились разрекламировать на тысячах футболках! Вот как надо заниматься бизнесом на скучной математике!
ФОРМУЛА ЛЮБВИ 13
Однако нашелся-таки добросовеснное светило, которое коэффициентиками поиграло. И добилось при этом заметного улучшения предыдущего графика:
with(plots): implicitplot(x^2+2*((3/5)*(x^2)^(1/3)-y)^2 = 1, x = -3 .. 3, y = -3 .. 3, numpoints = 120000, thickness = 5);
ФОРМУЛА ЛЮБВИ 14
Эту очаровательную формулу я нашел в картинах Google:
plot((sqrt(cos(x))*cos(300*x)+sqrt(abs(.7*x))-.5)*(x*x)^0,1e-1, x = -Pi .. Pi);
ФОРМУЛА ЛЮБВИ 15
Но мокрая курица просто так не сдается! Она так и лезет из-под пера аппроксиматора:
plot({3/4*abs(x)^(2/3)+(1-x^2)^(1/2), ¾*abs(x)^(2/3)-(1-x^2)^(1/2)}, x = -1,1 .. 1,1, numpoints = 5200, color = red, thickness = 5);
ФОРМУЛА ЛЮБВИ 16
Ну, а сейчас пойдут настоящие шедевры! Это, конечно, на мой взгляд. Но посудите уж сами. Первый шедевр тригонометрический, довольно сложный, параметрический:
Форма и вправду классическая! Не находите?
plot([16*sin(t)^3, 13*cos(t)-5*cos(2*t)-2*cos(3*t)-cos(4*t), t = 0 .. 2*Pi], color = red, thickness = 5);
ФОРМУЛА ЛЮБВИ 17
Второй шедевр – предел простоты. Сердце компонуется из полуокружностей и повернутого набок косинуса. Высший пилотаж стилизации!
plot({-arccos(abs(x)-1), sqrt(1-(abs(x)-1)^2)}, x = -2,2 .. 2,2, numpoints = 3200, color = red, thickness = 5);
И правильно сделали, что такую вещь превратили в ходящую рекламу!
ФОРМУЛА ЛЮБВИ 18
Третий шедевр принадлежит мне. История появления формулы такова. Мой внук Андрюша заметил, что правая часть контура сердца напоминает цифру 2 без нижней черты. Что тогда мы с ним сделали? Очень просто: рассмотрели тысячи различных шрифтов и составили как бы обобщенный классический контур половины сердечка. Зафиксировали этот контур на миллиметровке в крупном масштабе, сняли с рисунка 22 координаты контура и при помощи специальной нашей программы сумели аппроксимировать простым уравнением. Получилось так:
Кто хочет более подробно узнать об этом, можете прочитать одну из глав книги «Математика для вундеркиндов». Вот ссылка: Желающие могут построить сердечко в системе Maple:
with(plots): implicitplot((1,2*y-abs(x)^(1/2))^2+x^2 = 1, x = -3 .. 3, y = -3 .. 3, numpoints = 120000, thickness = 5);
Когда писал эту статью, обнаружил, что некие люди взяли мою формулу, чуть-чуть изменили один коэффициентик и, спустя три недели после моей публикации, выдали ее за свою. Убедитесь сами:
Но это меня обрадовало – значит, понравилось!
ФОРМУЛА ЛЮБВИ 19
А вот и новое веяние! На страничке некий шустрик отошел подальше от сердца. Вот как это выглядит в нормальных координатах:
Сколько тут мощи, а! Если эту мощь перевести в Maple, то получим:
with(plots); implicitplot(x = 3*y*log(y)-(1/36)*exp(-(36*y-36/exp(1))^4), x = -1,5 .. .5, y = 0 .. 1,3, numpoints = 120000, thickness = 5);
На ссылке автор ужал рисунок — видно, скромность заела.
ФОРМУЛА ЛЮБВИ 20
Скорее всего этот же автор продолжил свои дерзания в части женских форм. Скопировал его же рисунок, в верность формул верю на слово:
На этом позвольте закончить свой опус. Надеюсь, что это самое полное рассмотрение формул любви. И, самое главное, -
Математикаявляется важнейшим инструментом науки, при помощи которого необходимо решать многие задачи теории и практики. События, происходящие в жизни, являются по сути множеством точек, и их приходится анализировать. Возьмем, к примеру, такое страшное природное явление, как цунами. Есть места на земле, где бедствие проявляется по нескольку раз в году. Стало очевидной необходимость фиксироваия цунами с описанием таких параметров как координаты эпицентра землетрясения, его бальность по шкале Рихтера, высота образовавшейся волны, характер разрушений, если они произошли, и так далее. Статистика за много лет будет ценным материалом, который специалист должен проанализировать, обобщить и представить в виде, дающем ясное представление о динамике возможных катастроф. Такой анализ по силам только науке математика.
Аппроксимация — это процесс представления множества отдельных точек в виде непрерывной зависимости. Самым прекрасным примером является теорема Пифагора. Задолго до открытия этой теоремы о таких тройках чисел, как 3, 4, 5 или 5, 12, 13 и даже 8, 15, 17 знали мудрецы Древней Индии и Китая. Пифагор же впервые проанализировал эти частные случаи и создал величайшую аппроксимацию, которая справедлива для любого прямоугольного треугольника.
Аппроксимация до сих пор является таким же видом творчества, как писание стихов и афоризмов. Приходится применять логику, здравый смысл, опыт и настойчивость. В одном из математических форумов попросили подобрать функцию, которая наилучшим образом описывает восемь экспериментальных точек. На рисунке показаны их координаты, отображение в декартовых поскости и ожидаемый результат в виде непрерывной красной линии:
Здесь текстовой файл «C0.txt» содержит такую же точно таблицу, как на первом рисунке. Моя прога по аппроксимации на языке Yabasic выглядит следующим образом:
open #1,«C0.txt»,«r» open #2,«C8.txt»,«w» dim x(100),y(100),f(100) z=.0001 for i=1 to 8 input #1 x(i),y(i) next i for i=1 to 8 print x(i),y(i) next i a0=1 b0=1 c0=1 d0=1 f0=-1
s1=10^100:nn=30000000 for j=1 to nn a=a0*(1+z*(ran()-.5)) b=b0*(1+z*(ran()-.5)) c=c0*(1+z*(ran()-.5)) d=d0*(1+z*(ran()-.5)) f=f0*(1+z*(ran()-.5)) s=0 for i=1 to 8 x=x(i) f(i)=a*x^b*atan(exp(c*x^d+f)) s=s+(y(i)-f(i))^2 next i if s< =s1 then print a,b,c,d,f,s if j >nn/2 then print #2,a using»##.##########»,b using»##.##########»,c using»##.##########» print #2,d using»##.##########»,f using»##.##########»,s using»##.##########» fi s1=s a0=a:b0=b:c0=c:d0=d:f0=f fi next j
Самой ценной строкой является, конечно же,
f(i)=a*x^b*atan(exp(c*x^d+f))
Чтобы прийти к данной зависимости, пришлось довольно сильно попотеть и перепробовать десятки вариантов. В данном случае мне потребовалось около часа напряженного труда.
Конечный результат счета (после 20 минут) выглядит так:
Окончательные значения пяти параметров уравнения обведены красной рамкой
В итоге получил оптимальную аппроксимирующую функцию (ее график в точности совпадает с линией на первом рисунке):
Здесь S— сумма квадратов отклонений ординат экспериментальных точек от значенийyаппроксимирующей кривой.
Сопоставление заданных точек и аппроксимации можно проверить по командам в системе Maple:
a := .387885: b := 2,41469: c := 0,690978e-1: d := 1,79091: f := -2,10271; with(plots): X := [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]: Y := [.384217536, 1,106245694, 2,629052351, 7,832014171, 17,37905132, 36,60673011, 66,69612989, 104,4259084]: g1 := plot([([X[i], Y[i]]$i = 1 .. 8)],x = 0 .. 9, style = POINT, symbol = CIRCLE, color = black): g2 := plot(a*x^b*arctan(exp(c*x^d+f)), x = 0 .. 12, thickness = 2): display(g2, g1);
(Примечание! После копирования в Мапл необходимо во всех десятичных числах вместо запятой поставить точку).
Для полного порядка рассмотрим предел:
Все получилось, как и задумывалось.
Стандартные программы недостаточно четко описывают процесс. Например, если аппроксимировать полиномом пятой степени
